Calc. Numérico: Interpolação

Como eu havia prometido aí vai a segunda parte do estudo de cálculo numérico

INTERPOLAÇÂO!!

Primeiro pra que serve isso? Imagine que você mediu experimentalmente algo daí você quer ter uma idéia de qual o valor para uma determinada entrada que você não mediua ai..., tá bom tá bom vamos a um exemplo.
Você está subindo uma montanha e a cada digamos 200 metros você vê o quanto do seu nariz está congelado. Você vai ter algo do tipo:

medicao Altura %congelada do nariz
x1 7000 0
x2 7200 5
x3 7400 22
x4 7600 37
x5 7800 58

Daí você quer saber como estava o seu nariz a 7500m de altura. Você deve interpolar o 7500 aí e ver como é horrível subir uma montanha sem o agasalho adequado.
O primeiro método de interpolação será a

Interpolação polinomial
Neste método vamos criar um polinômio de grau n-1 onde n é o número de medições que você fez. No nosso caso há 5 medições ou seja Polinômio de grau 4. E como você vai achar este magnífico "polinômio que descreve o congelamento dos narizes em grandes altitudes"? Primeiro vamos ver o formato dele. Já que é de grau 4 o nosso polinômio deve ser algo do tipo:

a1 + b1x1 + c1x1^2 + d1x1^3 +e1x1^4 = 0

Certo? Daí você com toda a paciência do mundo vai para cada ponto medido substituir x do polinômio pelo que você mediu e isso deve dar igual a o teu y também medido daí você vai obter 5 equações polinomiais:

a1 + b1x1 + c1x1^2 + d1x1^3 +e1x1^4 = y1
a1 + b1x2 + c1x2^2 + d1x2^3 +e1x2^4 = y2
a1 + b1x3 + c1x3^2 + d1x3^3 +e1x3^4 = y3
a1 + b1x4 + c1x4^2 + d1x4^3 +e1x4^4 = y4
a1 + b1x5 + c1x5^2 + d1x5^3 +e1x5^4 = y5

Daí resolva o sistema linear acima e Tchan Ram! vc tem o "polinômio que modela o congelamento de narizes em grandes altitudes".